Interpretación geométrica de las desigualdades. Continuación 4.

 h)Vamos a resolver a continuación la desigualdad

$x^{3} \geq - x^{2}$.

Solución: Al graficar las funciones observamos que la desigualdad se cumple en los intervalos $(-1,0]$ y $[0, +\infty)$, siendo las dos igual a $0$ en el punto $(0,0)$.

Si resolvemos algebraicamente la desigualdad tenemos:

$x^{3} \geq - x^{2}$

$x^{3} + x^{2}>0$

$x^{2}(x+1)\geq0$.

Los valores de $x$ que nos interesa revisar son $x=0$ y $x= -1$ , los cuales definen los intervalos $(-\infty,-1)$, $(-1,0]$ y $[0, +\infty)$. Nótese el sentido de los intervalos en $x=0$, ya que ahí son iguales las funciones.

La desigualdad la resolvemos y analizamos utilizando la siguiente tabla,

Vemos que la desigualdad se cumple en los intervalos $(-1,0]$ y $[0,+\infty)$, entonces la solución general de esta desigualdad es el intervalo $(-1,+\infty)$ pasando por $x=0$ donde son iguales $f1$ y $f2$.

En la siguiente gráfica mostramos $f1=x^{3}$, $f2= -x^{2}$ y la función $f3= x^{3}+x^{2}$. Donde se muestra que $f3\geq0$ se cumple en el mismo intervalo que la desigualdad original.

Interpretación geométrica de las desigualdades. Continuación 3

 g) Ahora revisamos la desigualdad

$x^{2} > - x$.

Solución. Si hacemos $f1=x^{2}$ y $f2=x$, vemos que $f1$ es mayor que $f2$ en los intervalos $(-\infty,-1)$ y $(0,+\infty)$, como podemos apreciar en la siguiente gráfica;

Si resolvemos la desigualdad, tenemos

$x^{2} > - x$

$x^{2} + x > 0$

$x(x+1)>0$.

Los valores a revisar son $x = -1$ y $x=0$, que son los que hacen cero a cada uno de los factores. Dichos valores de $x$ definen los intervalos $(- \infty,-1)$, $(-1.0)$, $(0,+ \infty)$.

Hacemos el análisis con la siguiente tabla:

Lo cual coincide con nuestra observación anterior y queda evidenciado en la siguiente gráfica;

Donde vemos que la función $f3=x^{2}+x$  es  $>0$  en los mismos intervalos.

Interpretación geométrica de las desigualdades ... Continuación 2.

 Interpretación geométrica de las desigualdades ... Continuación 2.

f) Ahora vamos a revisar la desigualdad 

$x^{2}<1$.

Solución. Si hacemos $f1=x^{2}$ y $f2=1$ y las representamos en el plano coordenado, notamos que la desigualdad se cumple en el intervalo $(-1,1)$, como se advierte en la gráfica siguiente:

Si resolvemos formalmente la desigualdad, tenemos

$x^{2}<1$

$x^{2}-1 < 0$

$(x+1)(x-1) < 0$.

Los valores de $x$ que vamos a analizar son los que caen en los intervalos $(-\infty,-1), (-1,1), (1,+\infty)$.

Para el intervalo $(-\infty,-1)$ hacemos $x=-1.1$ y sustituimos en cada uno de los factores, tomando en cuenta el signo en cada factor después de la sustitución, tenemos entonces:

$(-)(-)=(+)$

Como nos piden que la desigualdad sea $<0$ y como el valor que escogimos en este intervalo fue arbitrario, entonces ningún valor de este intervalo cumple con la desigualdad.

En el intervalo $(-1,1)$ escogemos un valor arbitrario, digamos $x=-0.1$ y hacemos un análisis semejante al del intervalo anterior, entonces:

$(+)(-)=(-)$,

vemos entonces que cualquier valor de este intervalo cumple con la desigualdad ya que nos piden sea $<0$.

Para el intervalo $(1,+\infty,)$ hacemos $x=1.5$, y obtenemos

$(+)(+)=(+)$,

y como nos piden que la desigualdad sea $<0$, entonces ningún valor de este intervalo cumple con la desigualdad.

Si ahora graficamos la función $f3=x^{2}-1$ con las dos anteriores vemos que efectivamente $x^{2}-1<0$ en el intervalo $(-1,1)$.

Interpretación geométrica de las desigualdades (Continuación 1).

 Interpretación geométrica de la desigualdades (continuación 1).

d) Tengamos ahora

$x+1 > x-1$.

Solución. Resolviendo la desigualdad obtenemos

$2>0$,

que es una expresión que se cumple para todos los valores de $x$, siendo además independiente de ellos, ya que es una constante. Esto nos indica que la desigualdad propuesta es verdadera para todos los valores de $x$.

Si construimos las funciones, siendo $f1 = x+1$ y  $f2 = x-1$ y las graficamos vemos que son dos rectas paralelas y que $f1$ es mayor que $f2$ para todos los valores de $x$.

e) Tengamos ahora

$x+1 < x-1$.

Solución. Resolviendo la desigualdad obtenemos

$2 < 0$,

que es una expresión que no se cumple para ningún valor de $x$, siendo además independiente de $x$, ya que dicha variable no aparece en el resultado. Esto nos indica que la desigualdad propuesta es falsa para todos los valores de $x$ .

Si construimos las funciones, siendo $f1 = x+1$ y  $f2 = x-1$ y las graficamos vemos que son dos rectas paralelas y que $f1$ nunca es menor que $f2$ para todos los valores de $x$.

Interpretación geométrica de las desigualdades.

 Interpretar geométricamente las desigualdades enriquece el tema, mejora y en ocasiones confronta nuestras habilidades. En todos nuestros ejemplos tratamos únicamente con números reales.

a) Sea la desigualdad 

 $x>1$.

Solución. Asociemos una función a cada uno de los miembros de la desigualdad. En este sentido, sean 

$f_{1}=x$  y  $f_{2}=1$.

Advertimos que la gráfica los valores de $f_{1}$ son  mayores que los valores de $f_{2}$ en el intervalo $(1,+\infty)$.

Al continuar con la solución de la desigualdad tenemos 

$x-1>0$.

Si ahora hacemos 

 $f3=x-1$,

y la graficamos en la figura anterior, 

encontramos que efectivamente, los valores de la función 

$f3=x-1$

son mayores que cero en el mismo intervalo $(1,+\infty)$.

Lo que quiero decir es que la solución de la desigualdad 

                                                                              $x>1$

sí es 

                                                                              $x-1>0$,

sin embargo la solución algebraica encierra un profundo sentido geométrico.

NOTA. Se puede hacer un razonamiento similar y se pueden utilizar las mismas gráficas para

la solución e interpretación de la desigualdad

                                                                           $x<1$.

b) Sea la desigualdad 

 $x< -2$.

Solución. Asociemos una función a cada uno de los miembros de la desigualdad. En este sentido, sean 

$f_{1}=x$  y  $f_{2}= -2$.

Advertimos que la gráfica los valores de $f_{1}$ son  menores que los valores de $f_{2}$ en el intervalo $(-\infty,-2)$.

Al continuar con la solución de la desigualdad tenemos 

$x+2<0$.

Si ahora hacemos 

 $f3=x+2$,

y la graficamos en la figura anterior, 

encontramos que efectivamente, los valores de la función 

$f3=x+2$

son menores que cero en el mismo intervalo $(-\infty,-2)$.

Lo que quiero decir es que la solución de la desigualdad 

                                                                              $x<-2$

sí es 

                                                                              $x+2>0$,

sin embargo la solución algebraica encierra un profundo sentido geométrico.

NOTA. Se puede hacer un razonamiento similar y se pueden utilizar las mismas gráficas para

la solución e interpretación de la desigualdad

                                                                           $x> -2$

c) Sea la desigualdad 

 $3x< -4$.

Solución. Asociemos una función a cada uno de los miembros de la desigualdad. En este sentido, sean 

$f_{1}=3x$  y  $f_{2}= -4$.

Advertimos que la gráfica los valores de $f_{1}$ son  menores que los valores de $f_{2}$ en el intervalo $(-\infty,- \frac{4}{3})$ .  

Al continuar con la solución de la desigualdad tenemos 

$3x+4<0$.

Si ahora hacemos 

 $f3=3x+4$,

y la graficamos en la figura anterior, 

encontramos que efectivamente, los valores de la función 

$f3=3x+4$

son menores que cero en el mismo intervalo $(-\infty,- \frac{4}{3})$ .

Lo que quiero decir es que la solución de la desigualdad 

                                                                              $3x< - 4$

sí es 

                                                                              $3x+4<0$,

sin embargo la solución algebraica encierra un profundo sentido geométrico.

NOTA. Se puede hacer un razonamiento similar y se pueden utilizar las mismas gráficas para

la solución e interpretación de la desigualdad

                                                                           $3x> - 4$.

 

DESIGUALDADES III

EEjemplos:

a) $x-\frac{2}{3}>2x+\frac{4}{3}$

Solución.

$x-2x>\frac{4}{3}+\frac{2}{3}$

$-x>\frac{6}{3}$

$-x>2$

$ \therefore$     $x<-2$.

b)  $x+\frac{1}{2}<2+\frac{x}{4}$.

Solución.

$x-\frac{x}{4}<2-\frac{1}{2}$

$\frac{3x}{4}<\frac{3}{2}$

$x<\frac{4}{2}$

$\therefore$   $x<2$.

c) $\frac{x}{3}-2<\frac{5x+9}{2}$.

Solución.

$2\left(\frac{x}{3}-2\right)<5x+9$

$\frac{2x}{3}-4<5x+9$

$\frac{2x}{3}-5x<9+4$

 $\frac{-13x}{3}<13$

$\therefore$    $x>-3$.

DESIGUALDADES II.

C) El sentido de una desigualdad  se altera si ambos miembros se multiplican por o se dividen entre un mismo número negativo.

Demostración:

C1) Sean $a>b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.

Entonces $\left(a-b\right)\cdot q=P\cdot q$,

de donde $a\cdot q-b\cdot q=P\cdot q$.

Como $P$ es un número positivo y $q$ es un número negativo, el producto $P\cdot q$ es un número negativo.

Es decir $a\cdot q-b\cdot q= N$, donde $N$ es un número negativo, y en consecuencia $aq<bq$.

$\therefore$  si  $a>b$  y  $q<0$, entonces $aq<bq$.


 C2) Sean $a>b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.

Entonces $\frac{a-b}{q}=\frac{P}{q}$,

de donde $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}=\frac{P}{q}$.

Como $P$ es un número positivo y $q$ es un número negativo, el cociente $\frac{P}{q}$ es un número negativo.

Es decir $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}= N$, donde $N$ es un número negativo, y en consecuencia $\frac{a}{q}<\frac{b}{q}$.

$\therefore$  si  $a>b$  y  $q<0$, entonces$\frac{a}{q}<\frac{b}{q}$.



C3) Sean $a<b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.

Entonces $\left(a-b\right)\cdot q=N\cdot q$,

de donde $a\cdot q-b\cdot q=N\cdot q$.

Como $N$ es un número negativo y $q$ es un número negativo, el producto $P\cdot q$ es un número positivo.

Es decir $a\cdot q-b\cdot q= P$, donde $P$ es un número positivo, y en consecuencia $aq>bq$.

$\therefore$  si  $a<b$  y  $q<0$, entonces $aq>bq$.

C4) Sean $a<b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.

Entonces $\frac{a-b}{q}=\frac{N}{q}$,

de donde $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}=\frac{N}{q}$.

Como $N$ es un número negativo y $q$ es un número negativo, el cociente $\frac{N}{q}$ es un número positivo.

Es decir $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}= P$, donde $P$ es un número positivo, y en consecuencia $\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.

$\therefore$  si  $a<b$  y  $q<0$, entonces$\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.

Ejemplos:

a)  $3x-1>6x+8$

Solución:

$3x-6x>8+1$

$-3x>9$.

Dividiendo ambos miembros entre $-3$ y aplicando las propiedades que acabamos de demostrar, tenemos,

$\frac{-3x}{-3}<\frac{9}{-3}$.

$\therefore x<-3$.

b)$ -7-12x<5x+10$

Solución:

$-12x-5x<10+7$,

$-17x<17$,

Dividiendo ambos miembros entre $-17$, tenemos

$x>\frac{17}{-17}.$

$\therefore x>-1$.

c)$\frac{2x-4}{-3}>6x+1$

Solución:

$ \left(\frac{2x-4}{-3}\right)(-3)<\left(6x+1\right)(-3),$

$2x-4<-18x-3$,

$20x<1$,

$\therefore x<\frac{1}{20}.$